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launch.json

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{
    // 使用 IntelliSense 了解相关属性。 
    // 悬停以查看现有属性的描述。
    // 欲了解更多信息，请访问: https://go.microsoft.com/fwlink/?linkid=830387
    "version": "2.0.0",
    "configurations": [
        {
            "name": "(gdb) 启动",
            "type": "cppdbg",
            "request": "launch",
            "program": "${workspaceFolder}/build/${fileBasenameNoExtension}",
            "args": [],
            "stopAtEntry": false,
            "cwd": "${fileDirname}",
            "environment": [],
            "externalConsole": false,
            "MIMode": "gdb",
            "setupCommands": [
                {
                    "description": "为 gdb 启用整齐打印",
                    "text": "-enable-pretty-printing",
                    "ignoreFailures": true
                }
            ]
        },
    ]
}

版本

Ubuntu: 16.04LTS WSL 参考：https://www.jianshu.com/p/d194d29e488c

安装zsh

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sudo apt install zsh

安装oh-my-zsh

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sh -c "$(curl -fsSL https://raw.github.com/ohmyzsh/ohmyzsh/master/tools/install.sh)"

（原本是应该这样的，但由于连接不上，因此使用代理进行下载，假设拥有本地1080端口的socks5代理服务器）

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sh -c "$(curl --socks5 127.0.0.1:1080 -fsSL https://raw.github.com/ohmyzsh/ohmyzsh/master/tools/install.sh)"

切换zsh主题

ZSH_THEME里面填上你喜欢的主题，内置主题可见：https://github.com/ohmyzsh/ohmyzsh/wiki/Themes

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vim ~/.zshrc
ZSH_THEME="avit"

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source ~/.zshrc

安装自动补全插件

（这个插件可能有点卡，不过还好用）

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mkdir ~/.oh-my-zsh/custom/plugins/incr
cd ~/.oh-my-zsh/custom/plugins/incr
wget http://mimosa-pudica.net/src/incr-0.2.zsh
mv incr-0.2.zsh incr.plguin.zsh
vim ~/.zshrc

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plguin = (git incr)

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source ~/.zshrc

修改环境变量

以node为例，发现node命令找不到了，因此需要修改一下环境变量。

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vim ~/.zshrc

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export NVM_DIR="$HOME/.nvm"
[ -s "$NVM_DIR/nvm.sh" ] && \. "$NVM_DIR/nvm.sh"  # This loads nvm
[ -s "$NVM_DIR/bash_completion" ] && \. "$NVM_DIR/bash_completion"  # This loads nvm bash_completion

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source ~/.zshrc

二次型

每一项都是二次、都是x、y、z中两个相乘的，例如：\(x^2+2y^2+z^2+2xy+4yz\)

标准型

只有单纯的平方项

将二次型转化成标准型

1. 写出二次型矩阵
   
2. 求特征值、特征向量
   
3. 若有多重特征值，则对其正交化
   
4. 单位化特征向量
   
5. 竖着组成正交变换

标准型与二次型的联系

由上可知，标准型前面的系数即为特征值，例如二次型的特征值为\(1,2,0\)，则相应标准型为\(x^2+2y^2(+0z^2)\)
因此，告知标准型，若要求二次型中的未知系数，则要记住二次型的行列式的值等于其特征值的积，等于其标准型系数的积。

两个向量Schmidt正交化

\(\beta_1=\alpha_1\)
\(\beta_2=\alpha_2-\frac{\alpha_2\cdot\beta_1}{\beta_1\cdot\beta_1}\beta_1\)

正定矩阵

判定

特征值全大于0则为正定矩阵

矩估计

设概率密度\(f(x)\)，求参数\(\lambda\)的矩估计

1. 求数学期望

\(EX=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=...\)，其中，\(EX\)包含\(\lambda\)。
(如果\(E(X)=0\)，则求\(E(X^2)\)，\(E(X^2)=\frac{1}{n}\sum x_i^2\))

2. 令\(\overline X=EX，\hat\lambda=\lambda\)

令\(\overline X = EX\)，则\(通过恒等变形解出\hat\lambda=\lambda=g(\overline X)\)

最大似然估计

1. 将样本的密度函数乘起来

\(L(x_1,x_2...;\lambda)=\prod_{i=1}^nf(x_i)\)，将参数的n次和x的乘积分分开。

2. 取对数消乘积

\(\ln L=...\sum x_i\)

3. 对参数求导

\(\frac{\partial \ln L}{\partial \lambda}=...=0\)，解得\(\lambda=...\sum x_i\)

如果算出来是常数呢？

若大于0，则代表\(\ln L(\theta)递增，则\hat \theta=\min\{x_1,x_2...x_n\}\)

4. 令\(\frac{1}{n}\overline X=\sum x_i，\hat \lambda = \lambda\)

解出\(\hat \lambda = g(\overline X)\)

求参数a使T为\(\theta\)的无偏估计量

1. 求T的数学期望

\(E(T)=E(将T具体表达式带入)=\theta\)

2. 将表达式的每部分数学期望算出来

看看符合什么分布，带入数学期望

3. 将对应参数抵消到只剩下\(\theta\)

Q:

方差计算公式

A:

\[D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\]
\[D(\overline X)=\frac{1}{n}D(X)\]

Q:

\[E(X+Y)=?\]

A:

\[E(X+Y)=E(X)+E(Y)\]

Q:

常见随机变量的数学期望与方差
泊松分布？

A:

泊松分布：\(E(X)=\lambda,D(X)=\lambda\)

Q:

常见随机变量的数学期望与方差
指数分布？

A:

指数分布：\(E(X)=\frac{1}{\lambda},D(X)=\frac{1}{\lambda^2}\)

Q:

相关系数\(\rho\)？

A:

\[\rho_{xy}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)} }\]

Q:

\[Cov(X_1+X_2,Y)=?\]

A:

\[Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)\]

Q：求Y=f(X)类型的密度函数

例如\(Y=1-e^{-2X}\)，求Y的密度函数。
\(F_X(x)=\begin{cases} 1-e^{-2x},x\gt 0 \\ 0,x\le 0 \end{cases}\)

A：

$F_Y(y)=P{ {Yy}}=P{ {1-e^{-2x}y}} $
\(=P\{ {1-y\le e^{-2x} }\}=P\{ {\ln{1-y}\le -2x}\}\)
\(=P\{ {x\le -\frac{1}{2}\ln{1-y} }\}\)
\(=F_X(-\frac{1}{2}\ln({1-y}))=1-(1-y)=y\)
首先写出Y的概率，再将Y换成X的表达式，这样里面全是小x小y了。然后变换不等式，形成x<=...y的形式。再利用X的分布函数计算。

Q：二维变量连续随机变量的边缘密度函数和条件密度函数

A：

\(f_X(x)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)
\(f_Y(y)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)
边缘：求哪个，积另一个。

\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)
\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)
条件：总的除以条件的边缘密度。

Q：二维随机变量中P{X+Y>1}类型的问题

A：

找出联合密度不为0的区域，并画出X+Y=1的线。找出不等式说表示的面积，然后对该面积进行二重积分，积分函数为联合密度函数。

如何找面积？
若直接给了关于x、y的连续不等式，则根据这些不等式相邻部分画出面积；若给了一些看似无关的不等式，则画出每一条线，选出相交部分。

Q：根据边缘和条件求联合

\(f_X(x)=...., 0\lt x\lt 1\)
\(f_{Y|X}(y|x)=.....,0\lt y\lt x\)
求\(f(x,y)\)

A：

当\(0\lt x\lt 1\)时，\(f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)\)
已知\(\int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)=1\)且 \(f(x,y)\gt0\)，
但\(\int_0^1dx\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)=...=1\)， 即\(x\le0或x\gt1时，f(x,y)=0\)。
从而得到
\(f(x,y)=\begin{cases} ...,0\lt y\lt x \lt 0 \\ 0, else \end{cases}\)
注意
不能直接相乘就觉得做完了，一定要验证一步。

设计需求

因为Anki的编辑器很弱，不美观也不能直接预览，因此有这么个需求，将VScode中编写好的错题本按照一定格式导入Anki中。

文档格式

既然需要导入，最简单的就是规定一定的格式。基于快速开发的需求，因此先定死格式。字段一：题目
字段二：答案

要求支持Mathjax导入，Hexo中使用的Markdown中支持的Mathjax使用$风格，而Anki中使用\(\)风格，需要做一下转换。

两张卡片之前用分割线---来分割，方便分析。
字段可自定义标识符。

开发方式

使用.Net Core，因为C#比较熟悉。

实现流程

1. 读取文件，以行为单位。
   
2. 查找---包裹的行，将这些行放入新的数组。
   
3. 查找这些行中的匹配标识符A、B。
   
4. A+1_{B-1范围内为A的内容，B+1}END为B的内容。
   
5. 将所有$$替换为\[\]，$替换为\(\)

\[\lim_{x\to 0}x\ln x=0\]
\[\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\]

高阶导数

碰见可因式分解的高阶导数，在子式的某个点为0

\[(x-2)^n(x-1)^n\cos(.....)\]
在\(x=2\)的n阶导数：
\[(((x-2)^n)((x-1)^n\cos(.....)))^{(n)}\]

多个三角函数相乘

通过三角公式化为多个三角函数相加，再求导。
例如：\(\cos 2x\sin x=\frac{1}{2}(\sin 3x - \sin x)\)

可以利用泰勒展开的式子

例如：
\[\frac{e^x-1}{x}\]
利用幂级数展开再求导，利用泰勒公式的唯一性，\(\frac{f^{(n)} }{n!}\)
将函数转化为多项式的形式，方便求导。

给了函数的范围，求函数的重积分

例
\[f(x)=\begin{cases} x,\ 0\le x\le 1 \\ 0,\ other \end{cases}\]
求
\[\iint_Df(y)f(x+y)dxdy\]
解
将函数的范围到找出来：
\[f(y)=y,when\ 0\le x\le 1\]
\[f(x+y),when\ 0\le x+y \le 1\]
于是在区域中，
\[f(y)f(x+y)=y(x+y)\]
原式变为
\[\int_0^1dy\int^{1-y}_{-y}y(x+y)dx\]
解出即可。

二元二重积分含二次偏导

如
\[\int^1_0xdx\int^1_0yf_{xy}''(x,y)dy\]
且
\[f(x,1)=0,f(1,y)=0,\iint f(x,y)dxdy=a\]
核心思想就是消除偏导，怎么消除呢？分部积分！
\[\int^1_0xdx[yf_x'(x,y)^1_0-\int^1_0f_x'(x,y)dy]\]
\[\int^1_0xf'_x(x,1)dx-\int^1_0xdx\int^1_0f'_x(x,y)dy\]
\[-\int^1_0[xf(x,y)^1_0-\int^1_0f(x,y)dx]dy\]
\[\int^1_0dx\int^1_0f(x,y)dy=\iint f(x,y)dxdy=a\]