已知曲线（直线）方程，求绕某一轴旋转曲面
例 曲线L: \(\begin{cases} 4x^2+9y^2=25 \\ z=0 \end{cases}\)，求绕y轴旋转一圈的方程。
解 因为绕y轴旋转，因此曲线上每一点对于y轴的半径的平方为 \(x^2+z^2\)，将 \(x^2\)、 \(z^2\) 用y或者常数替代形成等式，即为曲面方程。 \(\because x^2=\frac{25-9y^2}{4}, z^2=0, \therefore x^2+z^2=\frac{25-9y^2}{4}\)，整理可得 \(4x^2+9y^2+4z^2=25\)
> 旋转曲面的关键是建立基于半径r的等式，\((x-2)^2+y^2=r^2=(x-2)^2+y^2\)，将右边的x、y用z的表达式替换，即可得到旋转曲面的方程。
求在这个曲面上某一点指向外侧的单位法向量
对该方程求微分，可得 \(8xdx+18ydy+8zdz=0\)，而法向量的 \(\{x,y,z\}\)中的每个位置等于微分前面的系数，因此该法向量为：\(\{8x,18y,8z\}\)，将给定的点带入即可算出法向量，再分别除以向量长度即可算出单位法向量。
已知曲线和平面方程，求切平面
例 已知曲面 \(z=1-x^2-y^2\)，平面 \(x+y-z+3=0\)，求曲面上与平面平行的切平面为_____。
解 设切点\((x,y,z)=(x_0,y_0,1-x_0^2+y_0^2)\)，则法向量n= \(\pm(2x_0,2y_0,1)\)平行于平面法向量 \((1,1,-1)\)，因此可以计算出 \((x_0,y_0,z_0)=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})\)。 则切平面方程为 \(-(x+\frac{1}{2})-(y+\frac{1}{2})+(z-\frac{1}{2})=0\)
求曲线在点的切线方程
求切向量和切线：曲线由两个方程构成，分别求两个方程在点的法向量，叉乘即可得到直线方向向量，利用给的点，即可算出切线。
求法向量：分别计算两个方程关于x、y、z的偏导，带入给定点即可算出法向量。
求法平面：根据切向量和切点，写出平面方程，注意平面是垂直与切向量的。
求旋转曲面在z=0和z=1之间的体积
如果求出旋转曲面是\(x^2+y^2=...z\)的形式，则对于每个\(z\)的截面为\(\pi r^2=\pi (x^2+y^2)\)，则体积为\(\pi\int_0^1...zdz\)