基本转换
使用条件
若出现\(x^2+y^2\)，通常将直角坐标转换为极坐标。
转换方法
若原式为\(\iint f(x,y)dxdy\)： 令\(\begin{cases} x=r\cos\theta \\ y=r\sin\theta \end{cases}\)，写成\(\int d\theta \int f(r\cos\theta, r\sin\theta)rdr\)的形式，然后考虑积分范围。 \(\theta\)的范围为积分区域所占的范围，\(r\)的上界是离原点远的边界函数，下界是离原点近的边界函数。
常见边界转换
积分区域为一个圆
圆在x轴但不是原点，且与坐标轴相切
例如给定\(x^2+y^2=-2ax\)，易转换为\((x-a)^2+y^2=a^2\)，此时圆的边界为\(2a\cos\theta\)，写成\(\int^{2a\cos\theta}_{0}frdr\)。为什么下界是0呢？因为圆与y轴相切，那么从原点出发与圆相交的线只有两个交点，原点与相对的圆上的点。
圆在y轴但不是原点，且与坐标轴相切
例如给定\(x^2+y^2=-2ay\)，易转换为\(x^2+(y-a)^2=a^2\)，此时圆的边界为\(2a\sin\theta\)，写成\(\int^{2a\cos\theta}_{0}frdr\)。
圆在原点
例如给定\(x^2+y^2=a^2\)，圆的边界为\(a\cos\theta\)。