判断是否收敛
正项级数
1. 比较审敛法
若每项比一个收敛级数小，收敛；若每项比一个发散级数大，发散。
2. 比较极限
两个不同级数的项\(u_n\)、\(v_n\)：
\[\lim_{n\to\infty}\frac{u_n}{v_n}=l\] 若比值极限为有限非零常数：同收敛发散；
若为0（v大很多）：若\(v_n\)收敛则\(u_n\)收敛；
若为\(\infty\)（v小很多）：若\(v_n\)发散则\(u_n\)发散。
3. 比值
\[\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1} }{a_n}=\rho\begin{cases} \rho\lt 1 收敛 \\ \rho\gt 1 发散 \\ \rho=1 不确定 \end{cases}\]
4. 根植
\[\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{u_n}=\rho \begin{cases} \rho \lt 1 收敛 \\ \rho \gt 1 发散 \\ \rho = 1 不确定 \end{cases}\]
交错级数
\[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}u_n,(u_n\gt 0)\] 若\(u_n\)递减且极限为0：收敛。
常用判别方法
- 出现阶乘和n次方：比值法
- 出现大块的n次方形式：根值法
- 看不出来：比较法，另找一个函数
幂级数
求收敛半径和收敛域
- 若\(x\)的形式比较复杂，先用\(t\)替换。
- 求\(x^n\)前面的 \(\frac{a_{n+1} }{a_n}=\rho\)或\(\sqrt[n]{a_n}=\rho\)，则收敛半径为$R=| | $ 。（若\(x\)前后两项相差\(k\)次，\(\rho\)需要开\(k\)次）
- 验证左右端点是收敛发散。 \((-R, R)\)为收敛半径（端点开闭看前面检测）
- 把\(t\)换回去。
给函数展开成幂级数
基本形式
\[e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}\] \[\sin x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1} }{(2n+1)!}\] \[\cos x=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n} }{(2n)!}\] \[\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^\infty x^n\] \[\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nx^n\] \[\ln(1+x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\] \[-\ln(1-x)=\sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n}\]
没说在哪展开
分离，化简，凑成基本形式
凑不出？可以求它的导数
假设想求\(f(x)\)的展开式：- 求导为\(f'(x)\)
- 将\(f'(x)\)通过基本形式展开为幂级数
- \(f(x)=\int_0^xf'(t)dt+f(0)\)，这里的\(f'(t)\)为幂级数
- 对幂级数里面进行积分，得出最终答案
- 求导为\(f'(x)\)
这就是利用逐项可积性，所以先求导再积分并不是无用功。
在\(x=a\)处展开为幂级数
- 分离，化简
- 把式子中的\(x\)凑成\(x-a\)的形式
- 把这部分当成整体如上方法进行展开
级数求和：求和函数
- 分离，化简。如果能展开成很多项，看看前后项有没有关系啊能不能抵消啊
- 凑原函数：例如\(\sum na^n=\sum (n+1)a^n-\sum a^n=\sum (a^{n+1})'-\sum a^n=(\sum a^{n+1})'-\sum a^n\)，然后就可以先求和再求导
- 借助等比数列、等差数列求和公式
- 借助展开的基本形式
- 对于\(\sum x^n\)凑的时候可能\(x\)的次数不太符合人意，可以考虑\(x^2\sum x^{n-2}\)之类的