计算直线在平面的投影
例
给定直线方程L与平面方程\(\Pi\)，问投影方程？
解
根据直线方程L计算直线方向向量s，根据平面方程计算平面法向量p，则\(s\times p\)即可得到垂直与平面且过直线L的新平面法向量。与平面\(\Pi\)联立即为投影方程的直线方程。
求过点与平面平行，又与另一直线相交的直线
例
过点\(P(-1,0,4)\)且与平面\(3x-4y+z+10=0\)平行，又与直线\(L:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{2}\)相交的直线方程为______
解
先过点P做平面的平行面\(3(x+1)-4y+(z-4)=0\)，再求它与直线的交点\(Q(15,19,32)\)，最后求直线的方向向量（由点P指向Q），即可得到直线方程。
证明两直线为异面直线
例
\(L_1:\frac{x-1}{-1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1}\),\(L_2:\frac{x+2}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-2}{-2}\)
解
\(M_1\ in\ L_1,\ M_2\ in\ L2,\ (s_1\times s_2)\cdot M_1M_2=0\)意味着共面，否则不共面。
计算点关于平面的对称点
例
平面\(x-2y+z=12\)，点 \(P(1,0,-1)\)，求P的对称点。
解
可知平面法向量\(n\)为\((1,-2,1)\)，即为过点 \(P\) 垂直于平面的直线的法向量，因此该垂直直线为 \(\frac{x-1}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z+1}{1}\)。
接下来计算与平面交点：将直线方程转化为参数形式，带入平面方程中求得t，即可算出交点。
将 \(P\) 关于交点对称，即算得对称点。
计算过直线与曲面的切平面
- 可算的直线的平面束、平面束的法向量\(n_1\)
- 可算得曲面的法向量\(n_2\)
- 因为是切平面，所以\(n_1\parallel n_2\)，即两个向量的\(x\)、\(y\)、\(z\)分别成比例。
- 令切点为\(x_0,y_0,z_0\)，联立平面束方程、曲面方程、坐标成比例方程，解出\(x_0,y_0,z_0,\lambda\)，代入平面束方程即可解出切平面