只有\(x,y,y'\)
可以分离变量 \(\frac{dy}{g(y)}=f(x)dx\)
对两边进行积分即可。
注意：\(\ln y = \ln x + \ln c \to y = cx\)
可以转化为齐次型 \(\frac{y}{x}\)
\[\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})\]
令\(\frac{y}{x}=u\)，\(y=xu\)，\(\frac{dy}{dx}=u+\frac{du}{dx}\)。
\[\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\]
对两边进行积分，再将\(\frac{y}{x}=u\)带回。
不能转化，不能分离的线性方程
形如：
\[\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\]
通解为：
\[y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)\]
有\(y'',y',y\)
\(y^{(n)}=f(x)\)
两边对x反复积分。
它们前面的系数是函数
不含x
令\(y'=p,y''=\frac{dp}{dx}\)，降阶，解两次微分方程。
不含y
令\(y'=p,y''=p\frac{dp}{dy}\)，降阶，解两次微分方程。
注意：若需要两边同时约去p，记得考虑p是否等于0。
它们前面的系数是常数 —— 线性
后面等于0 —— 齐次
例如\(y''+ay'+by=0\)
根据特征方程\(\lambda ^2+a\lambda+b=0\)解出特征值。
若特征值不同，则通解为\(C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)
若特征值相同，则通解为\((C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)
后面等于x的函数 —— 非齐次
- 首先先不管后面的函数，将前面部分看成齐次方程的形式，算出通解。
- 接着考虑特解，如形式\(y''+my'+ny=(cx+d)e^{qx}\)，若q为特征值的其中一个，则特解为\(x(ax+b)e^{\lambda_1x}\)，若q与两个特征值皆相等，则特解为\(x^2(ax+b)e^{\lambda x}\)，若q不是特征值中的任何一个，则特解为\(Ae^{qx}\)。
- 接着计算参数。根据所给的\(y(0)\)、\(y'(0)\)计算出A，求出特解的一阶导、二阶导，带入原方程中的\(y''、y'、y\)中，与等号右边的函数相等，计算出参数\(C_1、C_2\)。
若存在虚根……
小技巧
- 形如\(\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x+y}\)之类不是很好直接计算的，取倒数，将x看成y的函数进行计算，如\(\frac{dx}{dy}-2x=y\to\)\(e^{-\int -2dy}(\int ye^{\int -2dy}dy+C)\)
- 若微分方程中出现积分，如\(\int_0^xf(t)dt、\int_0^x(x-t)f(t)dt\)，考虑求一阶导、二阶导，将积分化为\(f(x)\)的微分方程进行计算。
- 若含y项比较复杂，不是简单的y，尝试凑成\(\frac{d(g(y))}{dx}\)的形式，把\(g(y)\)看成整体进行计算。