Q：求Y=f(X)类型的密度函数
例如\(Y=1-e^{-2X}\)，求Y的密度函数。
\(F_X(x)=\begin{cases} 1-e^{-2x},x\gt 0 \\ 0,x\le 0 \end{cases}\)
A：
$F_Y(y)=P{ {Yy}}=P{ {1-e^{-2x}y}} $
\(=P\{ {1-y\le e^{-2x} }\}=P\{ {\ln{1-y}\le -2x}\}\)
\(=P\{ {x\le -\frac{1}{2}\ln{1-y} }\}\)
\(=F_X(-\frac{1}{2}\ln({1-y}))=1-(1-y)=y\)
首先写出Y的概率，再将Y换成X的表达式，这样里面全是小x小y了。然后变换不等式，形成x<=...y的形式。再利用X的分布函数计算。
Q：二维变量连续随机变量的边缘密度函数和条件密度函数
A：
\(f_X(x)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)
\(f_Y(y)=\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\)
边缘：求哪个，积另一个。
\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)
\(f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)}\)
条件：总的除以条件的边缘密度。
Q：二维随机变量中P{X+Y>1}类型的问题
A：
找出联合密度不为0的区域，并画出X+Y=1的线。找出不等式说表示的面积，然后对该面积进行二重积分，积分函数为联合密度函数。
如何找面积？
若直接给了关于x、y的连续不等式，则根据这些不等式相邻部分画出面积；若给了一些看似无关的不等式，则画出每一条线，选出相交部分。
Q：根据边缘和条件求联合
\(f_X(x)=...., 0\lt x\lt 1\)
\(f_{Y|X}(y|x)=.....,0\lt y\lt x\)
求\(f(x,y)\)
A：
当\(0\lt x\lt 1\)时，\(f(x,y)=f_X(x)f_{Y|X}(y|x)\)
已知\(\int _{-\infty}^{+\infty}\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)=1\)且 \(f(x,y)\gt0\)，
但\(\int_0^1dx\int _{-\infty}^{+\infty}f(x,y)=...=1\)， 即\(x\le0或x\gt1时，f(x,y)=0\)。
从而得到
\(f(x,y)=\begin{cases} ...,0\lt y\lt x \lt 0 \\ 0, else \end{cases}\)
注意
不能直接相乘就觉得做完了，一定要验证一步。