二次型

二次型

每一项都是二次、都是x、y、z中两个相乘的，例如：\(x^2+2y^2+z^2+2xy+4yz\)

标准型

只有单纯的平方项

将二次型转化成标准型

1. 写出二次型矩阵
   
2. 求特征值、特征向量
   
3. 若有多重特征值，则对其正交化
   
4. 单位化特征向量
   
5. 竖着组成正交变换

标准型与二次型的联系

由上可知，标准型前面的系数即为特征值，例如二次型的特征值为\(1,2,0\)，则相应标准型为\(x^2+2y^2(+0z^2)\)
因此，告知标准型，若要求二次型中的未知系数，则要记住二次型的行列式的值等于其特征值的积，等于其标准型系数的积。

两个向量Schmidt正交化

\(\beta_1=\alpha_1\)
\(\beta_2=\alpha_2-\frac{\alpha_2\cdot\beta_1}{\beta_1\cdot\beta_1}\beta_1\)

正定矩阵

判定

特征值全大于0则为正定矩阵